প্রমাণ কর যে, চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয় পরস্পর সমান হলে এবং পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করলে, তা একটি বৰ্গ।

(সংক্ষিপ্ত প্রশ্ন)

বিশেষ নির্দেশ: দেওয়া আছে, ΔABC- এর মধ্যরেখা BO কে D পর্যন্ত সমভাবে
বৃদ্ধি করি যেন BO = OD হয়। A, D ও C, D যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, ABCD একটি সমান্তরিক।

প্রমাণঃ ধাপ যুক্তি/কারণতা

(১) ΔCOD ও ΔAOB এর মধ্যে
CO = OA ; [∵ ΔABC এর মধ্যরেখা OB]
OD = OB [দেওয়া আছে]

এবং অন্তর্ভুক্ত ∠COD = অন্তর্ভুক্ত ∠AOB; [বিপ্রতীপ কোণ]
∴ ΔCOD ≅ ΔAOB
∴ CD = AB

এবং ∠DCO = ∠BAO
∴ ∠DCA = ∠BAC [একান্তর কোণ হওয়ার পরস্পর সমান]
∴ CD ∥ AB

(২) এখন, চতুর্ভুজ ABCD এর দুই বিপরীত বাহু CD ও AB পরস্পর সমান ও সমান্তরাল। [কোনো চতুর্ভুজের বিপরীত যেকোনো দুই বাহু পরস্পর সমান ও সমান্তরাল হলে চতুর্ভুজটি একটি সমান্তরিক হয়]

∴ ABCD একটি সমান্তরিক। [প্রমাণিত]

সাধারণ নির্বচন: প্রমাণ করতে হবে যে, সামান্তরিকের একটি কর্ণ একে দুইটি সর্বসম ত্রিভুজে বিভক্ত করে।
বিশেষ নির্বচন: মনে করি, ABCD একটি সামান্তরিক। এর BD কর্ণটি একে দুইটি ত্রিভুজ, ∆ABD ও ABCD -এ বিভক্ত করে। প্রমাণ করতে হবে যে ∆ABD = ABCD.

প্রমাণঃ ধাপ্ যুক্তিসহ

(১) AB ∥ CD এবং AB = CD [যেহেতু ABCD একটি সমান্তরিক]
এবং AD ∥ BC ও AD = BC.

(২) এখন ΔABD ও ΔBCD-এ
AB = DC ∵ ABCD সমান্তরিকের বিপরীত বাহু
AD = BC ∵ ABCD সমান্তরিকের বিপরীত বাহু
এবং BD উভয় ত্রিভুজের সাধারণ বাহু।

∴ ΔABD ≅ ΔBCD (প্রমাণিত)

সাধারণ নির্বচন: প্রমাণ করতে হবে যে, চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল হলে, তা একটি সামান্তরিক।
বিশেষ নির্বচন: মনে করি, ABCD একটি
চতুর্ভুজ। এর বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল অর্থাৎ AB = CD BC = AD AB || CD এবং BC || AD। প্রমাণ করতে হবে যে, ABCD চতুর্ভুজটি একটি সামান্তরিক।
অঙ্কন: A, C যোগ করি।
প্রমাণ: ধাপ্ যুক্তিসহ

(১) BC ∥ AD এবং AC এদের ছেদক।
∴ ∠ACB = ∠CAD [একান্তর কোণ বলে]

(২) এখন, ΔABC ও ΔACD-এ
AB = CD, BC = AD [দেওয়া আছে]
এবং AC = AC [সাধারণ বাহু]

∴ ΔABC ≅ ΔACD [ত্রিভুজের বাহু-বাহু-বাহু উপপাদ্য]
∴ ∠ABC = ∠ADC

অনুরূপভাবে, প্রমাণ করা যায় যে, ∠BAD = ∠BCD
অতএব, ABCD চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলো সমান এবং বিপরীত
বাহুগুলো সমান ও সমান্তরাল বলে ABCD একটি সমান্তরিক। (প্রমাণিত)

সাধারণ নির্বচন: প্রমাণ করতে হবে যে, সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পর সমান হলে, তা একটি আয়ত।
বিশেষ নির্বচন: মনে করি, ABCD একটি
সামান্তরিক এবং AC ও BD এর দুইটি কর্ণ যেখানে AC = BD. প্রমাণ করতে হবে যে, ABCD একটি আয়ত।

(১) ΔABC এবং ΔBCD-এ
AB = DC;
AC = BD; [∵ সমান্তরিকের বিপরীত বাহু]
এবং BC সাধারণ বাহু। [দেওয়া আছে]

∴ ΔABC ≅ ΔBCD [ত্রিভুজের বাহু-বাহু-বাহু উপপাদ্য]
∴ ∠ABC = ∠BCD

(২) ABCD সমান্তরিক, AB ∥ CD; BC এদের ছেদক যার একই পাশে অবস্থিত দুটি অন্তঃস্থ কোণ ∠ABC ও ∠BCD।

∴ ∠ABC + ∠BCD = 180°
[∵ দুটি সমান্তরাল রেখার ছেদকের একই পাশে অবস্থিত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি দুটি সমকোণ]

বা, ∠ABC + ∠ABC = 180°, [∵ ∠ABC = ∠BCD]
বা, 2∠ABC = 180°
∴ ∠ABC = 90°

আমরা জানি, সমান্তরিকের একটি কোণ সমকোণ হলে তা একটি আয়ত হয়।

∴ ABCD একটি আয়ত। (প্রমাণিত)

সমাধান: সাধারণ নির্বচন: প্রমাণ করতে হবে যে, আয়তের সন্নিহিত বাহুর মধ্যবিন্দুসমূহের যোগে যে চতুর্ভুজ হয়, তা একটি রম্বস।

বিশেষ নির্বচন: মনে করি, ABCD একটি আয়ত। এর AB, BC, CD এবং AD বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P, Q, R এবং S। P,Q; Q, R; R,S এবং S,P যোগ করলে PQRS একটি চতুর্ভুজ উৎপন্ন হয়। প্রমাণ করতে হবে যে, PQRS একটি রম্বস।ছবির লেখাটিকে আমি টেক্সটে পরিষ্কারভাবে লিখে দিলাম:

অঙ্কন: A, C; B, D; P, R এবং S, Q যোগ করি।

প্রমাণ:

(১) ΔAB ও ΔBCD এর সন্নিহিত বাহুর মধ্যবিন্দুগুলোর সংযোজক রেখাংশ যথাক্রমে PS এবং QR।

∴ PS ∥ BD এবং QR ∥ BD এবং PS = ½BD = QR।
[ত্রিভুজের দুই বাহুর মধ্যবিন্দু সংযোজক রেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল ও দৈর্ঘ্যে তার অর্ধেক]

∴ PS = QR এবং PS ∥ QR
অনুরূপভাবে, ΔABC ও ΔADC নিয়ে প্রমাণ করা যায় যে, PQ = SR এবং PQ ∥ SR

(২) এখন, ΔAPS ও ΔBPQ-এ
AP = BP; [∵ P, AB এর মধ্যবিন্দু]
AS = BQ; [∵ আয়তের বিপরীত বাহুর অর্ধেক পরস্পর সমান]
এবং ∠PAS = ∠PBQ (প্রত্যেকে 90°)

∴ ΔAPS ≅ ΔBPQ
∴ PS = PQ

(৩) PQRS চতুর্ভুজের সমস্ত বাহু পরস্পর সমান। অর্থাৎ,
PQ = QR = SR = PS এবং বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান্তরাল।
⇒ (১) ও (২) থেকে,

∴ PQRS একটি রম্বস। (প্রমাণিত)

সাধারণ নির্বচন: প্রমাণ করতে হবে যে, সামান্তরিকের যেকোনো দুইটি বিপরীত কোণের সমদ্বিখন্ডক পরস্পর সমান্তরাল।
বিশেষ নির্বচন: মনে করি, ABDC একটি সামান্তরিক। এর দুইটি বিপরীত কোণ angle ABD ও angle ACD এর সমদ্বিখন্ডক যথাক্রমে BE ও CF. প্রমাণ করতে হবে যে, CF || BE.
প্রমাণ: ধাপ | যথার্থতা

(১) ABCD সামান্তরিকের ∠ACD = ∠ABD
[যেহেতু সামান্তরিকের বিপরীত কোণগুলো সমান]

∴ ∠FCE = ∠FBE
[CF ও BE রেখাংশ এদের সমবাহু]

(২) আবার, AB ∥ CD এবং BE এদের ছেদক।

∴ ∠FBE = ∠BED
[একান্তর কোণ বলে]

∴ ∠FCE = ∠FBE = ∠BED …(১)-হতে

অতএব, ∠FCE = ∠BED

কিন্তু এরা অনুরূপ কোণ।

∴ CF ∥ BE. (প্রমাণিত)